欧式空间的性质论文摘要

问：为什么欧式空间是完备的

1. 答：本质区别不在完备性上欧式空间是在 线性空间 上 又定义了内积。就是说，欧式空间是一个 有内积 的线性空间。一般的线性空间，不一定有内积的。
   带有内积的空间称为欧几里得空间。若＜a，β＞＝0，称a与β正交（垂直)。若V的一个基中的向量两两正交且长度为1，则称为标准正交基，V3中常用的直角坐标系就是标准正交基。每个n维欧几里得空间存在标准正交基，可由任意基改造而得。
   一类特殊的向量空间。对通常3维空间V3中的向量可以讨论长度、夹角等几何性质。若a＝（a1，a2，a3），β＝（b1，b2，b3)，则a的长度a与β的内积a与β的夹角a，β=os(假定a，β均非零向量)。推广之，在n维向量空间Rn中，若a＝（a1，……，an），β＝（b1，……，bn），规定。
   它具有类似的几何性质。Rn连同运算＜，＞，称为一个欧几里得空间。更一般地，若V是R上向量空间，称V×V到R的一个满足一定条件的映射为内积。
2. 答：本质区别不在完备性上
   欧式空间是在 线性空间 上 又定义了内积。
   就是说，欧式空间是一个 有内积 的线性空间。
   一般的线性空间，不一定有内积的。
3. 答：最下面的公式中的k应该是0，上面写错了，这是夏道行的《实变函数论与泛函分析》下册P72的内容

问：度量空难与欧式空间的区别

1. 答：欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间
   它使得我们能够对其的拓扑性质,在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

问：有限维欧式空间一定存在标准正交基吗

1. 答：任意一个有限维的欧式空间都有一组标准正交基，这个定理被称为Gram-Schmidt定理。
   两个向量空间之间如果存在线性同构，那么这两个向量空间是完全相同的。所以如果两个欧式空间等距同构，那么这两个欧式空间有相同的测度，拓扑及几何结构，可能仅仅是所采用的基不同。所以任意一个nnn维欧式空间都与nnn维标准欧式空间等距同构。
   扩展资料：
   在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
   这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
   参考资料来源：