一、求解非线性反应扩散方程的有限差分格式(英文)（论文文献综述）
吴吉明,李嘉正,杨晓忠[1]（2021）在《一类非线性反应-扩散-对流方程的显隐交替差分方法》文中研究指明非线性反应-扩散-对流方程,广泛存在于化学工程,传热传质和水质污染等领域中,其数值解法具有重要的科学意义和工程应用价值。针对一类非线性反应-扩散-对流方程,本文提出一类显式和隐式交替差分方法,基于交替技术将时间网格点按照奇偶划分,联合使用古典显格式和隐格式,构造出显隐交替差分格式和隐显交替差分格式。理论分析得出显隐交替差分方法的解是存在唯一的、线性稳定的和线性收敛的。数值试验验证了理论分析,试验显示显隐交替格式与隐显交替格式相较于隐格式节省约23%的计算效率,表明本文方法求解非线性反应-扩散-对流方程是有效的。
满子杨[2]（2021）在《两类反应扩散方程的动力学相容的数值方法的研究》文中指出
尹亮[3]（2021）在《河蟹养殖水域的溶解氧建模研究》文中进行了进一步梳理养殖水域溶解氧的产生与消耗过程对于水草布局、人工增氧等具有重要的价值,因此研究溶解氧的机理模型非常重要。光合作用对于养殖水域溶解氧产生至关重要,但是文献上鲜有围绕光合作用建立养殖水域溶解氧机理模型。针对该问题,本文考虑了河蟹养殖水域的各种环境因素,考虑光合作用活动,研究了溶解氧的机理建模和增氧控制方案,具体工作如下:1.针对以水草为初级生产者的河蟹养殖池塘,建立了溶解氧系统动力学模型。综合考虑了水生大型植物的光合作用和呼吸作用、水气界面氧气交换、增氧机增氧、水柱和池底中有机物质氧化分解、河蟹的呼吸作用对溶解氧变化的影响,以常微分方程的形式建立了溶解氧系统动力学模型并模拟了蟹塘中溶解氧的变化情况,重点评估了水草和增氧机的增氧能力,通过灵敏度分析来衡量各参数对溶解氧数值的影响程度。结果表明,模型拟合值与实验值的平均绝对百分比误差为7.8%。模拟结果显示,水草的光合作用是蟹塘中溶解氧的主要来源,占总产氧的88.2%,9.2%的氧气来自机械增氧,2.6%的氧气来自大气复氧。水体中有机物的分解消耗了86.9%的溶解氧,是溶解氧的主要消耗项,水草的呼吸作用消耗了约13.1%的氧气,而河蟹呼吸对溶解氧的消耗占比较小,不足总耗氧的0.1%。该模型探明了河蟹养殖水域的溶解氧产生和消耗机理。2.建立了河蟹养殖水域溶解氧的垂直分布模型。该垂直模型结合了溶解氧动力学模型,以扩散理论为基础,考虑了氧分子在水中的移动以及太阳辐射在水中的衰减,并模拟了不同参数值时水体溶解氧的分布与变化情况。在对采集到的溶解氧和水温多层数据进行数据修复后,利用多项式回归和Crank-Nicolson有限差分法来进行溶解氧数据的扩充和扩散方程的数值求解。通过模拟发现蟹塘底层水体中的溶解氧依赖于上层水体的补充,底层水体相较于上层水体更容易发生缺氧状况。当水体的消光系数增加、扩散系数减小或者沉积物浓度上升时,池底溶解氧浓度会有明显下降。结果表明,所建立的垂直模型可以正确反映出溶解氧的分层情况和变化趋势,该模型对揭示河蟹养殖池塘溶解氧的空间分布具有重要的意义。3.研究了基于神经网络PID（Proportional-Integral-Derivative Neural Network,PIDNN）的蟹塘溶解氧的自动控制方案。该控制方案利用全连接神经网络的误差反向传播自动更新权重矩阵,实现对传统PID控制器的三个参数kp、ki、kd的自动调整。利用加入动量项的梯度下降法进行参数更新,同时将溶解氧动态模中的机械增氧项参数进行优化,建立增氧机增氧速率与电机功率的关系式。仿真结果表明,在低太阳辐射条件下该控制方案可以将仿真值与溶解氧浓度设定值的RMSE误差控制在0.15以内,相比于传统的人工增氧控制方案PIDNN可以实现对溶解氧的实时、有效控制。本文所建立的溶解氧系统动力学模型为增氧管理和和河蟹养殖水域水草布局提供理论基础;溶解氧垂直模型有利于农户掌握溶解氧浓度的空间分布规律,有利于溶解氧传感器布点、精准预测;基于PIDNN的溶解氧控制方案降低了水体的低氧风险。
乔海丽[4]（2021）在《分数阶微分方程的高精度高效算法》文中进行了进一步梳理分数阶微分方程广泛应用于流体力学、湍流和粘弹性力学、反常扩散、多孔介质中的分形和色散、信号处理与系统识别、电磁波等领域,分数阶算子的非局部性对现实世界中具有记忆与遗传性质的材料给出了更好的解释,更利于对各类复杂力学与物理行为进行建模。但分数阶微分方程大多数情况下无法解析地求解,只有极少数可以通过Mittag-Leffler函数、H-函数与Wright等复杂函数表示其解析解,而且这些函数计算比较困难。因此,许多学者致力于研究其数值解,常见的数值求解方法包含有限差分方法、有限元方法和谱方法。此外,还有少数采用有限体积元、无网格等方法求解。另外,分数阶不同于传统的整数阶导数,其具有非局部性,使得求解分数阶方程的数值格式通常需要比较大的存储空间和计算量,针对此问题大家提出了快速求解方案,如:快速傅里叶变换、指数和近似（SOE）、本征正交分解技术（POD）等。然而,对于时间分数阶方程的快速高效求解方案研究比较少,本文将对时间分数阶微分方程的高精度高效求解方法进行研究。本文,首先,对具有Caputo-Fabrizio导数的一维、二维分数阶Cattaneo方程,建立Crank-Nicolson型的紧致有限差分格式,并对数值格式进行理论分析,另外,考虑直接数值求解需要高计算成本,我们基于数值格式相邻时间层的递归关系提出一种快速求解方法,有效减少计算量和存储量。其次,考虑基于Caputo-Fabrizio导数的时间分布阶偏微分方程,开发了两种无条件稳定的格式,并对其进行理论分析,证明了在离散的L2范数意义下两格式都是无条件稳定的,它们的收敛速度分别为O（τ2+h2+Δα2）和O（τ2+h4+Δα4）,其中Δα,h和τ分别表示分布阶,空间和时间剖分步长。第三,考虑分数阶方程的解通常具有弱奇异性,我们对分数阶非线性常微分方程和线性偏微分方程的等价积分方程在三种非均匀网格上进行求解,这些非均匀网格根据正整数幂求和公式设置,并对数值格式进行误差估计。第四,具有Caputo导数的时间分数阶扩散方程解具有弱奇异性,我们考虑在三种非均匀网格上对分数阶导数采用L2-1σ格式进行离散,并对数值格式进行了稳定性分析和误差估计。第五,考虑具有Caputo分数阶导数的一维、二维时间分数阶扩散方程,为避免在均匀网格上求解导致数值格式降阶,我们对时间分数阶导数在标准分层网格上采用L1-2格式进行离散,并对分数阶导数离散格式进行局部截断误差估计,此外,对数值格式提出了降阶外推算法,有效减少计算量。第六,考虑有限差分方法和有限元等方法需要先构造网格,不便于求解复杂区域问题,我们对具有Caputo分数阶导数的二维时间分数阶对流扩散方程,导出有限差分/RBF无网格算法,并利用RBF降阶外推算法减少计算量。具体地:第一章,首先对分数阶微积分进行概要介绍,给出几个分数阶导数的定义。然后,对本文研究内容进行简单介绍。第二章,对具有无奇异核的时间分数阶导数的Cattaneo方程提出了快速紧致有限差分方法。我们首先对一维问题做研究,方程中的空间导数项采用紧致差分算子离散,对Caputo-Fabrizio分数阶导数采用Crank-Nicolson近似,从而导出Cattaneo方程的数值离散格式。然后,对离散格式进行稳定性分析和误差估计,证明了所提出的紧致有限差分格式具有四阶空间精度和二阶时间精度。随后,我们将一维问题推广到二维问题,推导出高阶格式,并给出相应的理论分析。另外,由于分数阶导数是历史相关、非局部的,因此需要巨大的存储空间和计算成本,这意味着极高的工作量消耗,尤其是对于长时间的仿真。我们对时间导数的离散格式进行观察分析,发现相邻时间层数值格式间存在递归关系,基于此我们给出了 Caputo-Fabrizio分数导数的有效快速求解方案,使得计算量由O（MN2）降为O（MN）,存储量由O（MN）减少为O（M）。最后,通过一些数值实验,验证了理论分析的正确性和快速算法的可行性。第三章,针对一维空间中具有Caputo-Fabrizio分数阶导数的时间分布阶偏微分方程,开发了两种有效的有限差分格式。一种对积分项采用复合梯形公式近似,对空间导数项采用二阶中心差商近似;另一种对积分项采用复合辛普森公式近似,空间导数项采用紧致差分算子近似。对以上两种格式进行稳定性分析和误差估计,证明这两种格式在离散的L2范数意义下都是无条件稳定的,它们的收敛速度分别为O（τ2+h2+Δα2）和O（τ2+h4+Δα4）,其中Δα、h和τ分别是分布阶、空间和时间剖分步长。最后,通过数值算例验证理论分析结果。第四章,考虑具有Caputo导数的分数阶非线性常微分方程和线性反应扩散方程。通常分数阶微分方程的解在初始时刻具有弱奇异性,若采用有限差分方法在均匀网格上求解,所得格式难以获得最优收敛阶。文章[1]将分数阶非线性常微分方程转化为等价积分方程,对时间区域进行非均匀剖分,积分项分别采用复合矩形公式、复合梯形公式近似,另外,考虑非线性方程采用上述两种方法计算时比较复杂,引入了预测校正格式,理论分析及数值实验均表明方程解的正则性对收敛阶存在影响。我们在其基础上进行拓展,根据k次幂公式,针对k=4,5我们提出另外两种非均匀网格,对分数阶非线性常微分方程的等价积分形式在新提出的格式上采用上述方法离散,理论分析证明在新提出的网格上离散问题可以得到更好的收敛阶。另外,我们考虑了具有弱奇异解的分数阶线性反应扩散方程,将其转化为等价积分方程,采用复合梯形公式在三种非均匀网格上逼近积分项,空间导数在均匀网格上采用有限差分方法离散,并对数值格式进行了收敛性分析,证明了对不同的非均匀网格我们均可获得最优收敛阶,最后,通过几个数值实验验证理论结果,并对在三种网格上计算的结果进行比较分析。第五章,考虑具有Caputo分数阶导数的时间分数阶扩散方程。考虑到该类方程解在初始时刻具有奇异性,在均匀网格上离散难以得到理想收敛阶,因此,我们根据k次幂公式,针对k=3,4,5建立了三种非均匀网格,分别记为网格2、网格1和网格3。在非均匀网格上采用L2-1σ格式对时间分数阶导数进行离散,其中σ=1-α/2,在均匀网格上采用中心差商公式对扩散项离散,导出模型方程的数值格式。通过理论分析,我们得到在不同的非均匀网格下离散所得数值求解格式有不同的时间收敛阶O（N-min{kα,2}）,其中N表示时间剖分份数,并对格式稳定性进行了分析。最后,通过几个数值算例验证了理论分析结果,通过观察计算结果我们发现在网格1上计算可以得到更精确的解,对于(α≥0.5,在网格1上计算具有二阶收敛速度,这对于具有可调参数r的分层网格是最佳的。另外,为了比较我们也在标准分层网格上进行了计算,发现对于α≥0.5的情况,网格1的数值误差也要好于标准分层网格的数值误差。第六章,对于具有Caputo分数阶导数的一维和二维时间分数阶扩散方程,我们考虑其解在初始时刻具有奇异性的情形,为得到理想的收敛阶,对于Caputo时间分数阶导数项,我们在分层网格上采用L1-2格式进行离散,而空间导数项在均匀网格上采用经典中心差分格式近似,并且对时间离散格式进行了局部截断误差估计,由于数值格式中的系数正负性比较复杂,数值格式的整体稳定性分析仍然是一个未解决的问题。另一方面,考虑到数值求解计算量比较大,我们基于奇异值分解和本征正交分解（POD）技术对直接离散所得格式进行优化,得到了降阶有限差分外推算法,降阶算法使得每个时间层未知量个数极大地减少。数值算例验证了数值格式的收敛性,时间收敛阶达到O（N-min{rα,3-α}）,同时验证了降阶算法的有效性,降阶有限差分格式与直接离散得到的有限差分格式比较计算所得数值结果相差甚微,而降阶有限差分格式计算所需时间明显缩短。第七章,对在初始时刻具有奇异性的分数阶对流扩散方程进行研究,导出了快速有限差分/RBF无网格方法。我们首先对时间导数项在分层网格上采用经典的L1格式离散,导出问题的半离散格式。其次,对RBF形函数构造进行简单介绍,然后采用RBF无网格方法对空间离散,导出分数阶对流扩散方程的全离散格式。无网格方法不需要构造网格,从而更利于处理复杂区域或者复杂边界条件问题。然而,无网格方法也同样存在计算效率问题,为解决这个问题,我们采用本征正交分解（POD）技术与RBF无网格方法相结合,对分数阶对流扩散方程建立了一种具有较低维数的降阶无网格外推算法。最后,研究了不同问题区域和不同节点分布的数值算例,并采用有限差分方法对问题进行求解并与RBF无网格方法进行比较,验证降阶外推无网格方法可以获得较好的精确度,而且有效节省计算时间。第八章,对全文进行总结,并对未来主要研究方向进行简单介绍。
蹇焕燕[5]（2021）在《几类分数阶微分方程的快速数值算法研究》文中进行了进一步梳理分数阶方程作为整数阶方程的推广,近年来被广泛用于建模各种物理和科学现象。由于分数阶算子的非局部性,分数阶模型能更精确地描述具有遗传和记忆性质的材料和过程。大多数分数阶方程的解析解都不易确定,所以一般研究其数值方法。此外,分数阶算子的离散通常导出稠密矩阵,这也造成了极大计算困难。因此,发展其高性能算法也是十分迫切的。本文工作主要分为以下四个方面:1.针对时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程,提出了一个快速隐式差分格式。首先通过数值积分,将该方程转换为一个多项时空分数阶方程。然后提出一个隐式差分格式来求解这个多项时空分数阶方程,并讨论它的无条件稳定性和收敛性。另外,发展了预处理的Krylov子空间算法来计算导出的Toeplitz-like线性系统。最后数值实验结果支持了理论发现,并验证了算法的有效性。2.针对时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程,建立了一个快速二阶差分格式。利用加权位移Gr¨unwald公式离散时间导数和分数阶中心差分公式离散空间导数,从而导出差分格式。另证明了该格式在时间、空间和分布阶上的稳定收敛性。一维时,提出基于Gohberg-Semencul公式的预处理Krylov子空间算法来计算Toeplitz系统。二维时,构建带截断预处理子的全局预处理共轭梯度法来求解Sylvester系统。数值实验结果验证了提出差分格式和快速算法的有效性。3.针对非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,发展了一个快速隐式积分因子方法。首先利用分数阶中心差分公式空间离散该方程,得到一个非线性常微分方程系统。其次,为获得良好的稳定性和鲁棒性,采用隐式积分因子方法求解该系统。另外,为了降低计算量,考虑到系数矩阵是对称正定Toeplitz的,提出了基于Gohberg-Semencul公式的位移-逆Lanczos方法来计算指数矩阵-向量乘积。最后用数值实验证实了理论结果的正确性,并验证了快速求解算法的有效性。4.针对二维的非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,提出了一个非均匀网格的快速紧隐式积分因子方法。利用加权位移Gr¨unwald-Letnikov方法对该方程空间离散后,得到一个矩阵形式的非线性常微分方程系统。鉴于紧隐式积分因子方法的稳定性,将其与非均匀时间网格和对角化技术结合,构建了一种非均匀时间网格的快速紧隐式积分因子方法。与已有方法相比,该方法避免了直接计算稠密指数矩阵并显着降低了计算成本。数值实验也验证了提出方法的有效性。
赵永良[6]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中研究表明分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
张嘉杰,陈豫眉,王小妹[7]（2021）在《FitzHugh-Nagumo方程的高精度紧致差分法》文中研究说明为解决FitzHugh-Nagumo（FHN）方程的数值解法普遍存在的精度不高、稳定性较弱或算法构造过程较复杂的问题,本文提出了一种将紧致差分格式与保持强稳定龙格库塔法相结合的数值方法。首先,对求解FHN方程所给定的空间区间采用一类六阶紧致差分格式离散,问题简化为求解关于时间的常微分方程组后,再离散时间区间,结合一类改进的四阶显式保持强稳定龙格库塔法,递推求得每一时间层上的解,从而获得了一种简单高效的求解FHN方程的紧致差分算法。将算法运用于两个给定不同初始数据的数值算例,发现算法具有空间六阶精度和较强的稳定性,验证了算法的有效性。
张娟[8]（2021）在《奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理》文中进行了进一步梳理随着科学研究和工程技术领域探索的不断深入,自然界中的大量自然现象以及日常生活中的很多经济社会现象,往往可以借助（偏）微分方程进行刻画.由于科学工程问题受到诸多因素的影响,通常很难得到其真实解.科学计算是近两个世纪以来重要的科学技术进步之一,已成为促进重大科学发现和科技进步的重要手段,是国家科学技术创新发展的关键要素.科学计算必须依靠高效的数值计算方法和高性能的计算机硬件系统.但是,计算机硬件技术的更新速度在一定程度上跟不上科学工程领域发展的步伐,所以必须依靠研究、设计高效的数值方法进行大规模工程问题的数值模拟,并且这也是最有效、最节约成本的解决方案之一.如何确定恰当计算花销达到给定的数值计算精度,就需要使用自适应的技巧.自适应技巧的核心是利用已有的数值结果和模型方程的已知信息构造有效的后验误差估计指示子.如何得到有效的、便于程序实现的后验误差估计指示子,是当前诸多学者讨论和研究的焦点之一.此外,研究控制系统性能指标最优化的整数阶和分数阶偏微分方程最优控制模型,可以概括为在一组等式或不等式的约束条件下,求目标函数极值的问题.由于分数阶导数算子的全局特性,国内外诸多学者采用谱方法求解变量约束分数阶最优控制问题.本文基于有限元方法讨论了变量约束整数阶最优控制问题的数值求解方法及其离散代数系统快速计算的相关问题,结合其等价离散代数方程组的结构特征,构造了高效的块对角预处理子;利用谱方法给出了状态变量积分受限分数阶最优控制问题的离散格式,实现了模型问题的高效率数值求解.此外,采用谱方法实现了低维空间奇异摄动问题的高效数值求解,并根据基函数的正交特性讨论了该类模型问题的谱方法后验误差估计相关技巧.具体包含如下内容:文中围绕低维空间反应扩散方程奇异摄动问题模型,利用区间加权正交广义雅克比多项式设计了包含奇异摄动参数的正交基函数,从而得到了稀疏的刚度矩阵,并基于谱方法给出了一维奇异摄动问题模型相应的数值求解格式.基于模型方程微分算子建立了数值解的各系数与方程右端项关于雅克比多项式的展开系数之间的恒等关系.借助基函数以及广义雅克比多项式的加权正交性,通过分析基函数正交系数的上界估计,给出了两类范数意义下的后验误差估计.基于控制变量所满足的积分约束条件,给出了分布式最优控制问题的等价最优性条件,采用有限元方法给出了模型问题的数值离散代数系统.针对刚度矩阵中非零元素的结构特点构造了稳健的块预处理子,并设计了快速迭代算法,同时分析了该算法的计算量为≤ 9步.结合数值算例验证了本文所设计预处理子的高效特性,相应的迭代算法计算量符合理论分析结果.类似的,围绕状态变量在积分约束下的椭圆型最优控制问题,利用KKT条件给出了一阶等价最优性条件,采用有限元方法实现了相应等价问题的数值离散,同时根据其刚度矩阵的结构特征,设计了稳健的块预处理子以及可行的迭代算法,并证明了其迭代计算量为≤6步.同样地,给出数值算例验证了预处理子的高效特性,并且佐证了迭代算法的计算量与理论分析结果相一致.通过引入拉格朗日乘子技巧分析了状态变量在L2-范数意义约束下最优控制问题的一阶最优性条件,并得到了控制变量与对偶状态变量之间的等式对应关系.此外,针对Riemann-Liouville意义的分数阶偏微分方程,详细探究了状态变量在积分约束下Riesz分数阶最优控制问题模型相应的最优性条件.借助Galerkin谱方法具有全局性特点,结合广义雅克比多项式构造了 Galerkin谱方法实现分数阶最优控制问题模型的数值离散.同时根据已有的正则性分析结果给出了模型数值解的先验误差估计分析.最后借助数值算例验证了高精度Galerkin谱方法数值格式的逼近效果,通过数值解的收敛阶分析进一步验证了理论结果的正确性.
赵洁[9]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究》文中指出本文的主要工作是研究几类时间分数阶偏微分方程的有限体积元方法,并将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,对两类非线性分数阶偏微分方程提出时间两层网格有限体积元快速算法.针对几类Caputo型与Riemann-Liouville型时间分数阶偏微分方程,分别建立了全离散数值计算格式,给出了全离散格式解的稳定性和收敛性等理论分析结果,并对模型方程进行了数值实验,通过实验数据验证了理论结果.本文主要考虑了分数阶反应扩散方程、非线性分数阶移动/非移动输运方程、非线性分数阶四阶反应扩散方程、非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统.具体的研究内容可以概括为如下三个部分:在第二章中,研究了一类Caputo型时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法.在时间方向上采用经典的L1公式逼近Caputo型时间分数阶导数.在空间离散过程中,针对二维有界凸多边形区域构造原始剖分和对偶剖分,分别选择分片线性多项式函数空间和分片常数函数空间作为试验函数空间和检验函数空间,通过引入插值算子Ih*,构造了全离散有限体积元格式.利用L1公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性、L2范数下的无条件稳定性和H1范数下的条件稳定性,并且得到了最优先验误差估计.最后给出两个不同空间维数的数值算例来验证数值方法的可行性.在第三章和第四章中,研究了非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法和非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法.采用二阶WSGD公式逼近两类方程中的Riemann-Liouville型时间分数阶导数,并且使用一类二阶线性化公式逼近两类模型方程中的非线性项,在处理非线性时间分数阶四阶反应扩散方程时,引入辅助变量将原问题转化为低阶耦合系统.使用插值算子Ih*,对两类方程分别建立了二阶全离散有限体积元格式和混合有限体积元格式.利用WSGD公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性和无条件稳定性结果,并且得到了最优先验误差估计,其中收敛阶和分数阶导数的参数无关.最后对两类模型方程都给出了含不同非线性项的数值算例来验证理论分析结果.在第五章和第六章中,将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,研究了带有Riemann-Liouville型时间分数阶导数的非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元快速算法.时间两层网格有限体积元方法的计算过程分三步:第一步,先在时间粗网格上利用非线性有限体积元格式迭代计算出一组粗糙解;第二步,利用时间粗网格上的粗糙解,使用Lagrange插值公式计算出时间细网格上的一组粗糙解;第三步,利用时间细网格上的粗糙解,使用一个特殊技巧建立线性化的有限体积元格式,并求解出时间细网格上的最终解.这种办法可以大幅度减少计算时间,提高计算效率.文中建立了两类模型方程的时间两层网格有限体积元格式,得到了时间粗网格和细网格下全离散解的无条件稳定性和最优先验误差估计结果.最后对两类模型方程均给出了相应的数值算例,通过对比时间两层网格方法和标准有限体积元方法的数值结果,可以看出时间两层网格有限体积元方法在保证收敛精度的同时,还在很大程度上节省了计算时间.
侯雅馨[10]（2020）在《时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法研究》文中研究说明时间分布阶微分方程常用于描述一些扩散指数随时间变化的复杂过程,如加速亚扩散过程等,目前已经在诸多领域发挥着重要作用,成为国际学术界的热门研究课题.但是分布阶算子所具有的复杂性和非局部性使得求解分布阶微分方程的精确解困难重重,因此学者们转而求其数值解,并取得了重要进展.在众多算法中,有限元方法以其较强的区域适应性、更灵活的网格剖分、更低的光滑性要求以及较强的通用性等显着优势,备受学者们的青睐.本文研究了时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法,重点讨论了H1-Galerkin混合有限元（GMFE）方法、两层网格有限元方法和交替方向隐式（ADI）有限元方法.具体的研究内容概括为以下几个部分:第一部分,使用基于二阶σ格式的H1-Galerkin混合有限元方法数值求解带有非线性项的时间分布阶反应扩散模型.时间方向上使用二阶σ格式逼近,空间方向上采用混合元算法进行离散,进而形成全离散格式.文中详细给出了格式的稳定性证明,并推导了未知函数p及中间辅助函数u在L2范数下的最优误差估计.最后用数值算例给出格式在时间和空间上的误差和收敛阶,可以看到时间和空间方向均达到最优阶,与理论分析结果一致,验证了理论分析结果的正确性.同时通过数值图像可以看到数值解与精确解的图像吻合,这说明我们给出的H1-GMFE方法对于求解非线性时间分布阶偏微分方程是有效的.第二部分,通过建立基于加权移位Grunwald差分（WSGD）算子的两层网格ADI有限元格式数值求解二维非线性时间分布阶反应扩散方程.使用WSGD算子结合数值求积公式对时间分布阶导数进行逼近,进一步形成非线性时间分布阶反应扩散模型的两层网格ADI有限元全离散格式.文中给出了数值格式的稳定性分析和误差估计的推导过程,得到了空间方向的二阶收敛精度.该方法降低了分布阶微分方程的维度、减少了存储空间并提高了计算效率.根据数值算例可以看出数值格式在空间方向上为二阶收敛,符合理论分析结果.同时,根据数值解与精确解的对比图,可以看到图像是相吻合的,这表明该算法可以有效的数值求解非线性时间分布阶反应扩散方程.第三部分,首次讨论了使用基于移位分数阶梯形公式（SFTR）的ADI有限元方法求解非线性时间分布阶反应扩散耦合系统.我们用SFTR结合数值求积公式逼近时间分布阶导数,进一步形成非线性分布阶反应扩散耦合系统的ADI有限元全离散格式.文中详细证明了格式的稳定性并借助投影算子得到了未知函数u和v的误差估计结果.理论分析和数值计算结果均显示,基于SFTR的ADI有限元算法可以在空间方向上达到最优收敛阶.该方法可以有效地降低对存储量的巨大需求,提高计算效率.
二、求解非线性反应扩散方程的有限差分格式(英文)（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、求解非线性反应扩散方程的有限差分格式(英文)（论文提纲范文）
（1）一类非线性反应-扩散-对流方程的显隐交替差分方法（论文提纲范文）
| 1 非线性反应-扩散-对流方程的显隐交替格式 |
| 1.1 非线性反应-扩散-对流方程 |
| 1.2 显隐交替格式的构造 |
| 2 显隐交替格式的数值分析 |
| 2.1 显隐交替格式解的存在唯一性 |
| 2.2 显隐交替格式的线性稳定性 |
| 2.3 显隐交替格式的线性收敛性 |
| 3 非线性反应-扩散-对流方程的隐显交替格式 |
| 4 数值试验 |
| 5 结论 |
（3）河蟹养殖水域的溶解氧建模研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 水质机理建模研究进展 |
| 1.2.2 增氧优化研究 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 第二章 水草为主要生产者的溶解氧系统动力学建模 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型的建立 |
| 2.2.1 溶解氧动力学模型总体结构 |
| 2.2.2 动态过程 |
| 2.2.3 模型数值解与参数校正 |
| 2.2.4 模型评价指标 |
| 2.2.5 灵敏度分析 |
| 2.3 实验方法 |
| 2.3.1 数据采集地点 |
| 2.3.2 实验方案 |
| 2.4 结果分析与讨论 |
| 2.4.1 模型仿真结果 |
| 2.4.2 灵敏度分析 |
| 2.4.3 水草和增氧机增氧能力分析 |
| 2.4.4 讨论 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 基于扩散理论的溶解氧垂直分布模型建立研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 溶解氧垂直分布模型的建立 |
| 3.2.1 池塘垂直结构 |
| 3.2.2 氧分子扩散方程的建立 |
| 3.2.3 垂直分布模型边界条件 |
| 3.2.4 有限差分方法 |
| 3.3 实验数据分析 |
| 3.3.1 实验数据获取 |
| 3.3.2 溶解氧数据修复 |
| 3.3.3 溶解氧数据扩充 |
| 3.4 结果分析与讨论 |
| 3.4.1 模型仿真结果 |
| 3.4.2 不同消光系数对溶解氧的影响 |
| 3.4.3 不同扩散系数对溶解氧的影响 |
| 3.4.4 沉积物对溶解氧的影响 |
| 3.4.5 讨论 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 基于PIDNN的溶解氧控制方案设计 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 神经网络PID控制器 |
| 4.2.1 正向传播过程 |
| 4.2.2 参数更新 |
| 4.3 增氧机参数优化 |
| 4.4 试验方法与结果分析 |
| 4.5 本章小结 |
| 主要结论与展望 |
| 主要结论 |
| 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录:作者在攻读硕士学位期间发表的论文 |
（4）分数阶微分方程的高精度高效算法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 分数阶微积分简介 |
| §1.2 本文主要内容 |
| 第二章 基于Caputo-Fabrizio导数的分数阶Cattaneo方程的快速紧致有限差分方法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 一维分数阶Cattaneo方程的紧致有限差分方法 |
| §2.2.1 离散问题 |
| §2.2.2 稳定性分析 |
| §2.2.3 误差估计 |
| §2.3 二维分数阶Cattaneo方程的紧致有限差分方法 |
| §2.3.1 离散问题 |
| §2.3.2 稳定性分析和误差估计 |
| §2.4 Caputo-Fabrizio分数阶导数的高效存储和快速计算 |
| §2.5 数值算例 |
| §2.6 本章小结 |
| 第三章 基于Caputo-Fabrizio导数的时间分布阶偏微分方程的两种无条件稳定方法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 离散问题 |
| §3.2.1 空间和分布阶的二阶方法 |
| §3.2.1.1 稳定性分析 |
| §3.2.1.2 误差估计 |
| §3.2.2 空间和分布阶的四阶方法 |
| §3.2.2.1 稳定性分析 |
| §3.2.2.2 误差估计 |
| §3.3 数值算例 |
| §3.4 本章小结 |
| 第四章 分数阶微分方程在非均匀网格上的有限差分方法 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 分数阶非线性常微分方程 |
| §4.2.1 离散问题 |
| §4.2.2 误差估计 |
| §4.2.3 数值算例 |
| §4.3 分数阶线性偏微分方程 |
| §4.3.1 误差估计 |
| §4.3.2 数值算例 |
| §4.4 本章小结 |
| 第五章 时间分数阶扩散问题在非均匀网格上的有限差分法 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 离散问题 |
| §5.3 稳定性分析和误差估计 |
| §5.4 数值算例 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 时间分数阶扩散方程在非均匀网格上的快速高阶方法 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 离散问题 |
| §6.3 局部截断误差估计 |
| §6.4 降阶有限差分外推算法 |
| §6.5 数值算例 |
| §6.6 本章小结 |
| 第七章 分数阶对流扩散方程的快速有限差分/RBF无网格方法 |
| §7.1 引言 |
| §7.2 离散问题 |
| §7.2.1 半离散格式 |
| §7.2.2 RBF无网格形函数构造 |
| §7.2.3 全离散格式 |
| §7.3 RBF无网格降阶外推算法 |
| §7.4 数值算例 |
| §7.4.1 具有Dirichlet边界条件的矩形问题域 |
| §7.4.2 具有Dirichlet边界条件的L形问题域 |
| §7.4.3 具有Dirichlet边界条件的圆形问题域 |
| §7.4.4 具有Dirichlet和Neumann边界条件的矩形问题域 |
| §7.5 本章小结 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（5）几类分数阶微分方程的快速数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义与性质 |
| 1.3 分数阶方程的常见数值算法 |
| 1.4 研究内容及创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程的快速隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数值格式 |
| 2.2.1 数值格式的推导 |
| 2.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 2.3 快速算法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程的快速二阶隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值格式 |
| 3.2.1 数值格式的推导 |
| 3.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 3.3 快速算法 |
| 3.3.1 一维情况 |
| 3.3.2 二维情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速隐式积分因子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值格式 |
| 4.2.1 空间半离散 |
| 4.2.2 隐式积分因子法 |
| 4.3 快速算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 二维非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速紧隐式积分因子法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值格式 |
| 5.2.1 空间半离散 |
| 5.2.2 快速紧隐式积分因子法 |
| 5.3 线性稳定性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（6）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（7）FitzHugh-Nagumo方程的高精度紧致差分法（论文提纲范文）
| 1 空间离散 |
| 2 时间离散 |
| 3 数值实验 |
| 4 总 结 |
（8）奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景和现状 |
| §1.2 研究意义 |
| §1.3 本文的结构及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 Legendre多项式 |
| §2.2 Jacobi多项式 |
| §2.3 最优控制问题模型 |
| §2.4 谱方法分类及其特征 |
| §2.4.1 Galerkin谱方法 |
| §2.4.2 Tau方法 |
| §2.4.3 配置方法 |
| 第三章 奇异摄动问题的后验误差估计 |
| §3.1 奇异摄动问题模型 |
| §3.2 L~2-加权范数意义下的后验误差估计 |
| §3.3 H~1-范数意义下的后验误差估计 |
| §3.4 数值算例 |
| 第四章 控制变量受限约束最优控制问题的块预处理子设计 |
| §4.1 控制受限最优控制问题模型 |
| §4.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §4.3 高效迭代算法设计 |
| §4.4 数值算例 |
| 第五章 状态变量受限约束最优控制问题的块预处理子与最优性条件 |
| §5.1 状态变量积分受限模型及其预处理子构造 |
| §5.1.1 状态变量积分受限模型的最优性条件 |
| §5.1.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §5.1.3 高效迭代算法设计 |
| §5.1.4 数值算例 |
| §5.2 状态变量L~2范数受限模型的最优性条件 |
| 第六章 状态变量积分受限分数阶最优控制问题的谱方法研究 |
| §6.1 分数阶最优控制问题模型 |
| §6.2 先验误差估计分析 |
| §6.3 数值算例 |
| 第七章 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读博期间发表和完成的论文 |
（9）几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分数阶偏微分方程有限体积元方法的研究现状 |
| 1.2 本文的主要研究工作和文章结构 |
| 第二章 时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 全离散有限体积元格式 |
| 2.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 2.3.1 一些引理 |
| 2.3.2 存在唯一性 |
| 2.3.3 稳定性 |
| 2.4 先验误差估计 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 结论 |
| 第三章 非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 全离散有限体积元格式 |
| 3.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 3.3.1 一些引理 |
| 3.3.2 存在唯一性 |
| 3.3.3 稳定性分析 |
| 3.4 先验误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 结论 |
| 第四章 非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 全离散混合有限体积元格式 |
| 4.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 4.4 先验误差估计 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 结论 |
| 第五章 非线性时间分数阶Cable方程的时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 先验误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 结论 |
| 第六章 非线性时间分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.3 稳定性分析 |
| 6.4 先验误差估计 |
| 6.5 数值算例 |
| 6.6 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（10）时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分布阶微分方程数值解法的研究背景与研究现状 |
| 1.1.1 分数阶与分布阶微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 有限元方法在分数阶和分布阶模型求解中的研究进展 |
| 1.2 研究内容与文章结构 |
| 第二章 基础知识 |
| 2.1 Sobolev空间的定义及相应的范数 |
| 2.2 常用引理 |
| 2.3 分数阶导数及其关系 |
| 2.4 分布阶导数的定义 |
| 第三章 非线性时间分布阶反应扩散方程的二阶σ格式的混合元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 本章所用引理及记号 |
| 3.3 混合有限元格式 |
| 3.4 稳定性分析与误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 结论 |
| 第四章 非线性时间分布阶反应扩散方程的两层网格ADI有限元算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 本章所用引理及记号 |
| 4.3 两层网格ADI有限元格式 |
| 4.4 稳定性分析与误差估计 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 结论 |
| 第五章 非线性时间分布阶反应扩散耦合系统的基于SFTR的ADI有限元算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 本章所用引理及记号 |
| 5.3 ADI有限元格式 |
| 5.4 稳定性分析与误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间科研情况简介 |
四、求解非线性反应扩散方程的有限差分格式(英文)（论文参考文献）
- [1]一类非线性反应-扩散-对流方程的显隐交替差分方法[J]. 吴吉明,李嘉正,杨晓忠. 内蒙古大学学报(自然科学版), 2021(04)
- [2]两类反应扩散方程的动力学相容的数值方法的研究[D]. 满子杨. 哈尔滨工业大学, 2021
- [3]河蟹养殖水域的溶解氧建模研究[D]. 尹亮. 江南大学, 2021(01)
- [4]分数阶微分方程的高精度高效算法[D]. 乔海丽. 山东大学, 2021(10)
- [5]几类分数阶微分方程的快速数值算法研究[D]. 蹇焕燕. 电子科技大学, 2021(01)
- [6]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [7]FitzHugh-Nagumo方程的高精度紧致差分法[J]. 张嘉杰,陈豫眉,王小妹. 西华师范大学学报(自然科学版), 2021(02)
- [8]奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理[D]. 张娟. 山东师范大学, 2021(12)
- [9]几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究[D]. 赵洁. 内蒙古大学, 2020
- [10]时间分布阶偏微分方程的几类有限元方法研究[D]. 侯雅馨. 内蒙古大学, 2020